RSA算法
在算法世界里，非常重要的一个算法就是RSA算法。因为RSA算法是网络世界中保证安全的基石之一。只要在有网络的地方，就有RSA的存在，可见RSA算法的地位。
写本文的目的是真正理解RSA算法为什么能够非常安全，参考了阮一峰老师的一片博客：RSA算法原理。
概述
对称加密是通过同一份密钥加密和解密数据，而非对称加密则有两份密钥，分别是公钥和私钥，用公钥加密的数据，要用私钥才能解密，用私钥加密的数据，要用公钥才能解密。此时私钥加密是作为一种认证信息。
简单说一下常用的非对称加密算法 RSA 的数学原理，理解简单的数学原理，就可以理解非对称加密是怎么做到的，为什么会是安全的：
- 选两个质数 p 和 q，相乘得出一个大整数n，例如 p = 61，q = 53，n = pq = 3233
- 选 1-n 间的随便一个质数e，例如 e = 17
- 经过一系列数学公式，算出一个数字 d，满足： a.通过 n 和 e 这两个数据一组数据进行数学运算后，可以通过 n 和 d 去反解运算，反过来也可以。 b.如果只知道 （n 和 e）（公钥），要推导出 d，需要知道 p 和 q，也就是要需要把 n 因数分解。
上述的 (n,e) 这两个数据在一起就是公钥，(n,d) 这两个数据就是私钥，满足用私钥加密，公钥解密，或反过来公钥加密，私钥解密，也满足在只暴露公钥 (只知道 n 和 e)的情况下，要推导出私钥 (n,d)，需要把大整数 n 因数分解。目前因数分解只能靠暴力穷举，而 n 数字越大，越难以用穷举计算出因数 p 和 q，也就越安全，当 n 大到二进制 1024 位或 2048 位时，以目前技术要破解几乎不可能，所以非常安全。
用例子来讲述密钥生成的步骤
假设场景为：李明给女神亦菲发送短信，但是不想让其他人知道，于是就使用RSA算法来加密告白短信。那么公钥和私钥的生成步骤为：
第一步，随机选择两个不相等的质数p和q
李明选择了61和53。（实际应用中，质数要更大，以防破解）
第二步，将p和q相乘得到n
n = 61 x 53 = 3233
n的长度就是密钥长度。3233二进制为110010100001，一共12位，所以这个密钥就是12位。实际应用中，RSA密钥一般是1024位，或2048位。
第三步，计算n的欧拉公式φ(n)
φ(n) = （p - 1）（q - 1）
所以，李明算出来φ(3233)等于60×52，即3120。
第四步，随机选择一个整数e，使得1< e < φ(n)并且e与φ(n)互质
李明就随机选择了17。（实际应用中常常选择65537）
第五步，计算e对于φ(n)的模反元素d
”模反元素“就是指有一个整数d，可以使得ed被φ(n)除的余数为1。
ed ≡ 1 (mod φ(n))
这个式子等价于
ed - 1 = kφ(n)
于是，找到模反元素d，其实就是对下面这个二元一次方程进行求解：
ex + φ(n)y = 1
现在已知的数为，e=17，φ(n)=3120，所以：
17x + 3120y = 1
这个方程的求解可以用扩展欧几里得算法，省略具体过程。
总之，李明算出了一组整数解为（x，y）=（2753，-15），即 d = 2753。
至此，所有计算完成。
第六步，将n和e封装为公钥，n和d封装为私钥
在这个例子里，n = 3233，e = 17，d = 2753，所以公钥就是（n，e）=（3233，17），私钥就是（n，d）=（3233，2753）。
实际应用中，公钥私钥的数据都是采用ASN.1的格式表达。
为什么RSA可靠？
回顾上面密钥的生成步骤，一共有六个元素：p q n φ(n) e d
这六个元素中，公钥用到了n和e，其余四个都不公开。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄露，就相当于私钥泄露。
在已知n和e的情况下，能否推导出私钥的关键元素d？
因为 ed≡1 (mod φ(n)) ，所以只有知道了e和φ(n)，才能算出d。
因为 φ(n)=(p-1)(q-1) ，所以只有知道了p和q，才能算出φ(n)。
因为 n = pq ，所以只有将 n 进行因数分解，才能算出p和q。
所以：如果n可以被因数分解，d就能够直到，也就意味着私钥被破解。
可是对于大整数的因数分解，是一件非常困难的事。暴力破解？好像只能这样。
维基百科：
“对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。
假如有人找到一种快速因数分解的算法，那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。
只要密钥长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。”
举个例子：
12301866845301177551304949
58384962720772853569595334
79219732245215172640050726
36575187452021997864693899
56474942774063845925192557
32630345373154826850791702
61221429134616704292143116
02221240479274737794080665
351419597459856902143413
你能对这个数进行因数分解吗？它等于这样两个数相乘：
33478071698956898786044169
84821269081770479498371376
85689124313889828837938780
02287614711652531743087737
814467999489
×
36746043666799590428244633
79962795263227915816434308
76426760322838157396665112
79233373417143396810270092
798736308917
事实上，这大概是人类已经分解的最大整数（232个十进制位，768个二进制位）。比它更大的因数分解，还没有被报道过，因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。
加密和解密
加密
李明可以用公钥（n，e）向亦菲发送短信了，假设短信文本为m（这里m必须是整数，字符串可以转换成ascii或unicode值），且m必须小于n。
加密的实质就是算出下面式子中的c：
m^e ≡ c (mod n)
公钥（3233，17），假设 m = 65，所以也就是
65^17 ≡ 2790 (mod 3233)
于是c等于2790，李明就把2790发给了亦菲。
解密
亦非收到了李明的神秘字符2790后，就拿着自己的私钥（3233，2753）进行解密，
可以证明下面公式一定成立：（后面有证明）
c^d ≡ m (mod n)
也就是：
2790^2753 = 65(mod 3233)
所以亦非知道了李明发来的消息原来是65啊。
至此，“加密-解密”整个过程全部完成。
我们可以看到，如果不知道d，就没有办法从c求出m。而前面已经说过，要知道d就必须分解n，这是极难做到的，所以RSA算法保证了通信安全。
你可能会问，公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m，那么如果要加密大于n的整数，该怎么办？有两种解决方法：一种是把长信息分割成若干段短消息，每段分别加密；另一种是先选择一种”对称性加密算法”（比如DES），用这种算法的密钥加密信息，再用RSA公钥加密DES密钥。
证明私钥解密的公式
最后，我们来证明，为什么用私钥解密，一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子：
c^d ≡ m (mod n)
因为，根据加密规则
m^e ≡ c (mod n)
于是，c可以写成下面的形式：
c = m^e - kn
将c代入要我们要证明的那个解密规则：
(m^e - kn)^d ≡ m (mod n)
它等同于求证
m^ed ≡ m (mod n)
由于
ed ≡ 1 (mod φ(n))
所以
ed = hφ(n)+1
将ed代入：
m^hφ(n)+1 ≡ m (mod n)
接下来，分成两种情况证明上面这个式子。
（1）m与n互质。
根据欧拉定理，此时
m^φ(n) ≡ 1 (mod n)
得到
(m^φ(n))^h × m ≡ m (mod n)
原式得到证明。
（2）m与n不是互质关系。
此时，由于n等于质数p和q的乘积，所以m必然等于kp或kq。
以 m = kp为例，考虑到这时k与q必然互质，则根据欧拉定理，下面的式子成立：
(kp)^(q-1) ≡ 1 (mod q)
进一步得到
[(kp)^(q-1)]^(h(p-1)) × kp ≡ kp (mod q)
即
(kp)^ed ≡ kp (mod q)
将它改写成下面的等式
(kp)^ed = tq + kp
这时t必然能被p整除，即 t=t’p
(kp)^ed = t'pq + kp
因为 m=kp，n=pq，所以
m^ed ≡ m (mod n)
原式得到证明。
